|
| Пример #1. |
| a) |
в 10-й нумерации при m=3 можно записать N=103=1000 разных чисел;
|
| b) |
в 5-й нумерации при m=3
можно записать N=53=125
разных чисел; |
| c) |
в 2-й нумерации при m=3
можно записать N=23=8 разных
чисел. |
Поскольку при записи чисел во всех позиционных
системах счисления принято использовать '0' для обозначения нулевого
(минимально возможного) веса разряда, то диапазоны чисел в указанных
примерах будут такими:
-
0..999 (в 10-тичной нумерации);
-
0..444 (в 5-ричной нумерации);
-
0..111 (в 2-ичной нумерации).
Очевидно, чем меньше (больше) основание системы
счисления, тем меньше (больше) диапазон представимых, - при
одинаковом числе используемых разрядов, - чисел.
В таком случае, двоичную систему можно
охарактеризовать как крайне неэкономную с точки зрения оценки места,
отводимого для представления числа.
Потому, наряду с двоичной формой записи, широко
используется т.н. шестнадцатеричная, основанная на 16-ричной
нумерации. Из формулы (*) получаем:
Иначе говоря, 16-ричный диапазон значений - при
фиксированном количестве используемых разрядов - соотносится с
соответствующим двоичным диапазоном как его 4-я степень.
Соответственно, 4 двоичных разряда могут быть
заменены на один 16-ричный разряд.
Итак, можем сформулировать правила перевода из
2-ной нумерации в 16-ную и обратно.
2«16 . Начиная от
правого края целого числа (от младшего разряда), записанного в
2-ичной нумерации, каждые 4 разряда заменяются на 1 разряд с тем же
весом в 16-ричной нумерации.
16«2 . Начиная от
правого края целого числа (от младшего разряда), записанного в
16-ричной нумерации, каждый разряд заменяется на 4 разряда с тем же
весом в 2-ичной нумерации.
Разумеется, лидирующие нули в крайней слева
"четверке" можно опустить.
Поскольку мощность 16-ричного алфавита равна |A16|=16, и привычных нам 10 цифр "не
хватает", принято использовать в нем, помимо '0'..'9', еще 6
начальных букв латинского алфавита, то есть A16={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B,
C, D, E, F}.
Теперь можно привести и примеры перевода чисел
между 2-ичной и 16-ричной нумерациями (слева - двоичные числа,
справа - шестнадцатеричные).
-
11 0111 1100 « 37C
-
100 1111 1001 « 4F9
При переводе здесь использована следующая таблица:
| 10-ичная нумерация |
2-ная нумерация |
16-ная нумерация |
| 0 |
0 |
0 |
| 1 |
1 |
1 |
| 2 |
10 |
2 |
| 3 |
11 |
3 |
| 4 |
100 |
4 |
| 5 |
101 |
5 |
| 6 |
110 |
6 |
| 7 |
111 |
7 |
| 8 |
1000 |
8 |
| 9 |
1001 |
9 |
| 10 |
1010 |
A |
| 11 |
1011 |
B |
| 12 |
1100 |
C |
| 13 |
1101 |
D |
| 14 |
1110 |
E |
| 15 |
1111 |
F |
| Упражнение #3. |
|
Выучить таблицу наизусть.
|
| Упражнение #4. |
| a) |
Перевести из 2-ичной нумерации в 16-ричную
числа 100000, 11111111. |
| b) |
Перевести из 16-ричной нумерации в 2-ичную
числа ABCD, 3FFFF.
|
| c) |
Как по двоичной записи числа установить,
четное оно или нечетное? |
| Упражнение #5. |
| a) |
Определить диапазон представимых чисел при
8-ми разрядах в 2-ичной нумерации. |
| b) |
Определить диапазон представимых чисел при
4-х разрядах в 3-ичной нумерации. |
| c) |
Как выглядит максимальное 8-ричное число,
записанное в 3-х разрядах? |
Рекомендую, если примеры из упражнений 3, 4, 5
удастся решить не сразу, но все же удастся, - самостоятельно
придумать еще несколько подобных примеров. Затем стоит решить и их,
стремясь потратить существенно меньше времени.
| Упражнение #6. |
| a) |
Сформулировать правила перевода чисел между
системами счисления с алфавитами A3 и A9. Построить соответствующую
таблицу. |
| b) |
Перевести из 3-ичной нумерации в 9-ричную
числа 210, 1111. |
| c) |
Перевести из 9-ричной нумерации в 3-ичную
числа 888, 1357. |
Следующее упражнение требует не механической
обработки данных с использованием описанных выше приемов, а
предварительного внимательного анализа правил перевода 2«16. Если соответствующий прием Вам прежде
не был знаком, то тут придется подумать.
| Упражнение #7. |
| a) |
Перевести из 4-ичной нумерации в 16-ричную
числа 30, 123. |
| b) |
Перевести из 16-ричной нумерации в 8-ричную
числа A2, 35. |
Назад
|
