Пусть m - натуральное число, m₁, m₂, ..., m_t - взаимно простые натуральные числа, произведение которых больше либо равно m.

Теорема

Любое число x: 0 <= x <= m может быть однозначно представлено в виде последовательности r(x) = (r₁, r₂, ..., r_t), где r_i = x(mod m_i).

Для любых чисел r₁ .. r_t, таким образом, существует единственное число x(mod m), такое что

Более того, любое решение x набора такого сравнений имеет вид

Вышеприведенная формулировка - Китайская Теорема об Остатках в том виде, в котором ее сформулировал в 1247 году нашей эры китаец Jiushao Qin.

Заметим, что число m/m_i = m₁*...*m_i-1*m_i+1*...*m_t взаимно просто с m_i, а значит обратное число в формуле для e_i всегда существует. Кроме того, имеют место равенства

Знакомым с теорией колец: Z_m = Zm₁ + ... + Zm_t, сумма прямая. e_i, как следует из равенств выше - ортогональные идемпотенты в кольце Zm.

Иначе говоря, кольцо R = Zm разлагается в прямую сумму

Последовательность ( r₁, ..., r_t ) называется модульным представлением x. Набор модульных представлений для всех x: 0 <= x <= m называется системой вычетов.

Сумма представлений - последовательность w_i = r_i + u_i mod m_i

Произведение - последовательность z_i = r_i * u_i mod m_i.

Алгоритм Гаусса

Очевидный алгоритм получается, если вычислять x по формуле, данной в теореме:

На входе: 
положительные взаимно простые m1, ..,mt
целые r1, .., rt
На выходе:
Целое число x:
x = ri (mod mi), 1 <= i <= t
0 <= x <= m, m = m1*..*mt

1. Вычислить m = m1*..*mt, положить x=0.
2. for i=1, 2, .., t do
	вычислить yi = m/mi
	вычислить расширенным алгоритмом Евклида si = yi-1 mod mi
    ci = ri*si mod mi
    x = x + ci*yi (mod m)
3. Возвратить x	

Алгоритм Гарнера

Пусть все m_i > 1, m = m₁*..*m_t. Тогда любое число 0 <= x < m может быть однозначным образом представлено в виде

Для x_i верно соотношение

xi =	ri+1 - ( x0 + x1m1 + .. + xi-1m1mi-1)	(mod mi+1)
	m1*..*mi

Таким образом, x_i могут быть вычеслены один за другим. Получившийся алгоритм носит имя Гарнера(Garner). Он также пригоден для аналогичных операций с полиномами (в предыдущем алгоритме требуются некоторые изменения).

1. For i from 2 to t {
    1.1 Ci := 1; 
    1.2 For j from 1 to (i-1) {
           u := mj-1 mod mi; 
           Ci := u*Ci mod mi; 
        }
    }
2. u := r1; x := u; 
3. For i from 2 to t {
       u := (ri-x)Ci mod mi;
	   x := x + u* [ Произведение mj от j=1 до i-1 ]; 
    }
4. return (x);  

Пример: пусть
m₁=5, m₂=7, m₃=11, m₄=13,
m = m₁*m₂*m₃*m₄ = 5*7*11*13 = 5005,
r(x) = (2, 1, 3, 8).

Константы C_i: C₂=3, C₃=6, C₄=5.

Значения (i, u, x), вычисленные на шаге 3: (1, 2, 2); (2, 4, 22); (3, 7, 267) и (4, 5, 2192).

Таким образом модульное представление r(x) отвечает x = 2192.